До Октябрьской революции и довольно долгое время после неё улица носила мрачное название Кладбищенская. Такое название было вполне оправдано: по ней после отпевания в Введенской церкви тагильчан отправляли в последний путь сразу на три кладбища — церковное (Введенское), «старое», которое находилось на месте нынешнего стадиона «Юность», и больничное на Салдинском тракте. К 1930 году все эти кладбища были уже ликвидированы, однако название улицы оставалось прежним. Почему? В те годы для переименования нужно было обращение в горисполком народного депутата, избранного жителями этой улицы, но такого обращения в горисполком не поступало.
Тагильчане вообще неохотно занимались переименованием улиц, а если и делали это, то только после указаний сверху: обычно инициатива исходила от областных властей, которые получали соответствующие распоряжения от властей всесоюзных. Так произошло, например, с улицей Мамина-Сибиряка, которую переименовали согласно указу об увековечивании имени Сергея Мироновича Кирова после его убийства в Ленинграде в декабре 1934-го.
Улица Кладбищенская обрела новое имя тоже после «вмешательства сверху». В январе 1931 года в Нижний Тагил с рабочим визитом прибыл председатель СНК СССР Вячеслав Михайлович Молотов и члены правительственной комиссии, которые направлялись в Свердловск инспектировать работу обкома партии. Встречал гостей секретарь Нижнетагильского горкома ВКП(б) Павел Иванович Тиунов. После обеда в столовой Горсовета Молотова пригласили на заседание бюро горкома, где обсуждался генеральный план развития города. В ходе встречи Тиунов надеялся заручиться поддержкой председателя Совнаркома в вопросах финансирования гражданского строительства. Но чтобы вести разговор о деньгах, нужно было показать Молотову, на что именно город просит деньги. Ознакомившись с планом, Вячеслав Михайлович попросил провезти его по местам предполагаемых застроек. Во время объезда Молотов вдруг попросил остановить машину и показал Тиунову на указатель, что висел на одном из домов. «Павел Иванович, какая это улица?! — протирая замёрзшие стёкла очков, удивлённо спросил гость. — Кладбищенская? Ну вы даёте!» Тиунов начал объяснять, что кладбища здесь давно нет и что название улицы — это лишь пережиток прошлого и не более. Молотов выслушал объяснения до конца и с улыбкой сказал: «Ну так переименуйте улицу. А то денег на социалистический город просите, а у самих пережитки прошлого на каждом шагу».
Три месяца спустя, 14 апреля 1931 года, решением президиума Нижнетагильского городского совета улица Кладбищенская, протянувшаяся от улицы Салдинской (ныне — проспект Ленина) до берегов речки Вязовки, была переименована в улицу Вязовскую. Тогда новое название понравилось всем: и городским властям, и самим горожанам. А вот денег на строительство соцгорода в Ленинском районе Нижнему Тагилу так и не дали. В Совнаркоме пообещали, что вернутся к этому вопросу после завершения строительства НТМЗ и УВЗ.
